Các dạng toán về hàm số bậc hai lớp 10

Bài viết phía dẫn cách thức giải những dạng toán hàm số bậc nhì trong công tác Đại số 10 chương 2, trong mỗi dạng toán đều bao hàm phương pháp giải toán cùng những ví dụ minh họa điển hình nổi bật có giải mã chi tiết.

Bạn đang xem: Các dạng toán về hàm số bậc hai lớp 10

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÀM SỐ BẬC HAI1. Định nghĩa hàm số bậc hai: Hàm số bậc hai là hàm số tất cả dạng $y = ax^2 + bx + c$ $left( a e 0 ight).$2. Sự biến đổi thiên của hàm số bậc hai: + Tập xác định: $D = R.$+ khi $a>0$ hàm số đồng trở nên trên $left( -fracb2a;+infty ight)$, nghịch trở thành trên $left( -infty ;-fracb2a ight)$ và có mức giá trị nhỏ nhất là $-fracDelta 4a$ lúc $x=-fracb2a$.+ lúc $aBảng đổi thay thiên:

*

3. Đồ thị hàm số bậc hai:+ lúc $a>0$ đồ vật thị hàm số bậc nhị bề lõm hướng lên bên trên và tất cả tọa độ đỉnh là $Ileft( -fracb2a;-fracDelta 4a ight).$+ khi $a+ Đồ thị nhận mặt đường thẳng $x=-fracb2a$ có tác dụng trục đối xứng.

*

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN HÀM SỐ BẬC HAIDạng toán 1. Khẳng định hàm số bậc hai.Phương pháp giải toán: Để xác minh hàm số bậc hai ta triển khai theo quá trình như sau:+ Gọi hàm số buộc phải tìm là $y = ax^2 + bx + c$, $a e 0.$+ dựa trên giả thiết việc để thiết lập cấu hình hệ phương trình với bố ẩn $a,b,c.$+ Giải hệ phương trình trên để tìm $a,b,c$, từ đó suy ra hàm số phải tìm.

Ví dụ 1. Xác định parabol $left( p ight):$ $y = ax^2 + bx + c$, $a e 0$ biết:a) $left( phường ight)$ trải qua $A(2;3)$ có đỉnh $I(1;2).$b) $c=2$ và $left( p ight)$ trải qua $Bleft( 3;-4 ight)$ và có trục đối xứng là $x=-frac32$.c) Hàm số $y=ax^2+bx+c$ có giá trị nhỏ tuổi nhất bởi $frac34$ khi $x=frac12$ cùng nhận giá chỉ trị bởi $1$ lúc $x=1$.d) $left( phường ight)$ đi qua $M(4;3)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ và $P$ sao để cho $Delta INP$ có diện tích bằng $1$ biết hoành độ điểm $P$ bé dại hơn $3$.

a) Ta có:$Ain left( p. ight)$ bắt buộc $3=4a+2b+c.$Parabol $left( phường ight)$ có đỉnh $I(1;2)$ phải $-fracb2a=1$ $Leftrightarrow 2a+b=0.$$Iin left( p. ight)$ suy ra $2=a+b+c.$Từ kia ta gồm hệ phương trình $left{ eginalign& 4a+2b+c=3 \& 2a+b=0 \& a+b+c=2 \endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& a=1 \& b=-2 \& c=3 \endalign ight.$Vậy parabol $left( phường ight)$ bắt buộc tìm là $y=x^2-2x+3.$b) Ta có $c = 2$ và $left( phường ight)$ đi qua $Bleft( 3; – 4 ight)$ nên $ – 4 = 9a + 3b + 2$ $ Leftrightarrow 3a + b = – 2.$$left( p. ight)$ có trục đối xứng là $x = – frac32$ nên $ – fracb2a = – frac32$ $ Leftrightarrow b = 3a.$Từ đó suy ra: $a = – frac13$ và $b = – 1.$Vậy parabol $left( p. ight)$ đề xuất tìm là $y = – frac13x^2 – x + 2.$c) Hàm số $y=ax^2+bx+c$ có giá trị bé dại nhất bằng $frac34$ lúc $x=frac12$ đề nghị ta có: $-fracb2a=frac12$ $Leftrightarrow a+b=0$, $frac34=aleft( frac12 ight)^2+bleft( frac12 ight)+c$ $Leftrightarrow a+2b+4c=3$ cùng $a>0.$Hàm số $y=ax^2+bx+c$ dìm giá trị bởi $1$ lúc $x=1$ bắt buộc $a+b+c=1.$Từ kia ta có hệ phương trình $left{ eginalign& a+b=0 \& a+2b+4c=3 \& a+b+c=1 \endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& a=1 \& b=-1 \& c=1 \endalign ight.$Vậy parabol $left( p ight)$ cần tìm là $y=x^2-x+1.$d) Vì $left( p ight)$ trải qua $M(4;3)$ phải $3=16a+4b+c$ $(1).$Mặt khác $left( p. ight)$ giảm $Ox$ trên $N(3;0)$ suy ra $0=9a+3b+c$ $(2)$, $left( p ight)$ giảm $Ox$ trên $P$ phải $Pleft( t;0 ight)$, $tTheo định lý Viét ta tất cả $left{ eginmatrixt+3=-fracba \3t=fracca \endmatrix ight.$Ta có $S_Delta IBC=frac12IH.NP$ cùng với $H$ là hình chiếu của $Ileft( -fracb2a;-fracDelta 4a ight)$ lên trục hoành.Do $IH=left| -fracDelta 4a ight|$, $NP=3-t$ bắt buộc $S_Delta INP=1$ $Leftrightarrow frac12left| -fracDelta 4a ight|.left( 3-t ight)=1$ $Leftrightarrow left( 3-t ight)left| left( fracb2a ight)^2-fracca ight|=left| frac2a ight|$ $Leftrightarrow left( 3-t ight)left| fracleft( t+3 ight)4^2-3t ight|=left| frac2a ight|$ $Leftrightarrow left( 3-t ight)^3=frac8left$ $(3).$Từ $(1)$ cùng $(2)$ ta có $7a+b=3$ $Leftrightarrow b=3-7a$ suy ra $t+3=-frac3-7aa$ $Leftrightarrow frac1a=frac4-t3.$Thay vào $(3)$ ta có $left( 3-t ight)^3=frac8left( 4-t ight)3$ $Leftrightarrow 3t^3-27t^2+73t-49=0$ $Leftrightarrow t=1.$Suy ra $a=1$ $Rightarrow b=-4$ $Rightarrow c=3.$Vậy parabol $left( p. ight)$ phải tìm là $y=x^2-4x+3.$

Dạng toán 2. Xét sự biến thiên với vẽ vật thị của hàm số bậc hai.Phương pháp giải toán: Để vẽ mặt đường parabol $y=ax^2+bx+c$ ta thực hiện công việc như sau:+ xác minh toạ độ đỉnh $Ileft( -fracb2a;-fracDelta 4a ight) của parabol$.+ xác định trục đối xứng $x=-fracb2a$ với hướng bề lõm của parabol.+ khẳng định một số điểm ví dụ của parabol (chẳng hạn như giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với bọn chúng qua trục trục đối xứng).+ căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

Ví dụ 2. Lập bảng trở thành thiên với vẽ vật thị những hàm số sau:a) $y = x^2 + 3x + 2.$b) $y = – x^2 + 2sqrt 2 x.$

a) Ta có $ – fracb2a = – frac32$, $ – fracDelta 4a = – frac14.$Bảng đổi mới thiên:

*

Suy ra vật dụng thị hàm số $y=x^2+3x+2$ tất cả đỉnh là $Ileft( -frac32;-frac14 ight)$, nhận đường thẳng $x=-frac32$ làm cho trục đối xứng, phía bề lõm lên trên cùng đi qua những điểm $Aleft( -2;0 ight)$, $Bleft( -1;0 ight)$, $Cleft( 0;2 ight)$, $Dleft( -3;2 ight).$

*

b) Ta có $ – fracb2a = sqrt 2 $, $ – fracDelta 4a = 2.$Bảng đổi thay thiên:

*

Suy ra đồ vật thị hàm số $y=-x^2+2sqrt2x$ bao gồm đỉnh là $Ileft( sqrt2;2 ight)$, nhận con đường thẳng $x=sqrt2$ có tác dụng trục đối xứng, hướng bề lõm xuống dưới cùng đi qua các điểm $Oleft( 0;0 ight)$, $Bleft( 2sqrt2;0 ight).$

*

Ví dụ 3. Cho hàm số $y=x^2-6x+8.$a) Lập bảng biến hóa thiên cùng vẽ trang bị thị hàm số trên.b) áp dụng đồ thị nhằm biện luận theo thông số $m$ số điểm tầm thường của đường thẳng $y=m$ với đồ thị hàm số trên.c) sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên kia hàm số chỉ nhận cực hiếm dương.d) sử dụng đồ thị, hãy tìm giá chỉ trị bự nhất, nhỏ nhất của hàm số đã mang đến trên $left< – 1;5 ight>.$

a) Ta có $ – fracb2a = 3$, $ – fracDelta 4a = – 1.$Bảng thay đổi thiên:

*

Suy ra vật thị hàm số $y=x^2+3x+2$ có đỉnh là $Ileft( 3;-1 ight)$, nhận mặt đường thẳng $x=3$ làm cho trục đối xứng, phía bề lõm lên trên với đi qua các điểm $Aleft( 2;0 ight)$, $Bleft( 4;0 ight).$

*

Đường thẳng $y=m$ tuy nhiên song hoặc trùng với trục hoành vày đó phụ thuộc đồ thị ta có:+ với $m+ cùng với $m=-1$ mặt đường thẳng $y=m$ và parabol $y=x^2-6x+8$ cắt nhau tại một điểm (tiếp xúc).+ cùng với $m>-1$ con đường thẳng $y=m$ cùng parabol $y=x^2-6x+8$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.c) Hàm số nhận cực hiếm dương ứng với phần thứ thị nằm trọn vẹn trên trục hoành.Do kia hàm số chỉ nhận quý giá dương khi còn chỉ khi $xin left( -infty ;2 ight)cup left( 4;+infty ight)$.d) Ta bao gồm $yleft( -1 ight)=15$, $yleft( 5 ight)=13$, $yleft( 3 ight)=-1$, kết hợp với đồ thị hàm số suy ra:$undersetleft< -1;5 ight>mathopmax y=15$ khi và chỉ còn khi $x=-1.$$undersetleft< -1;5 ight>mathopmin y=-1$ khi và chỉ còn khi $x=3.$

Dạng toán 3. Đồ thị của hàm số cho bởi vì nhiều phương pháp và hàm số chứa dấu trị giỏi đối.

Xem thêm: Rèn Luyện Tư Duy Phản Biện Pdf, Tư Duy Phản Biện

Ví dụ 4. Vẽ thiết bị thị của hàm số sau:a) $y = left{ {eginarray*20cx – 2:khi:x ge 2\ – x^2 + 2x:khi:x endarray ight.$b) $y = left| x^2 – x – 2 ight|.$

a) Đồ thị hàm số $y=left{ eginmatrixx-2:khi:xge 2 \-x^2+2x:khi:xendmatrix ight.$ gồm:+ Đường trực tiếp $y=x-2$ đi qua $ extAleft( 2;0 ight)$, $Bleft( 0;-2 ight)$ cùng lấy phần nằm bên phải của con đường thẳng $x=2.$+ Parabol $y=-x^2+2x$ có đỉnh $Ileft( 1;2 ight)$, trục đối xứng $x=1$, đi qua những điểm $Oleft( 0;0 ight)$, $Cleft( 2;0 ight)$ và lấy phần đồ vật thị nằm cạnh sát trái của mặt đường thẳng $x=2.$

*

b) Vẽ parabol $left( p. ight)$ của đồ thị hàm số $y=x^2-x-2$ gồm đỉnh $Ileft( frac12;-frac54 ight)$, trục đối xứng $x=frac12$, đi qua những điểm $Aleft( -1;0 ight)$, $Bleft( 2;0 ight)$, $Cleft( 0;-2 ight)$, $Dleft( 1;-2 ight)$.Khi đó đồ dùng thị hàm số $y=left| x^2-x-2 ight|$ bao gồm phần parabol $left( p. ight)$ nằm phía bên trên trục hoành với phần đối xứng của $left( p ight)$ nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

*

Ví dụ 5. Vẽ thiết bị thị của hàm số sau:a) $y = x^2 – 3left| x ight| + 2.$b) $y = left| x^2 – 3left ight|.$c) $y = x^2 – 3left| x ight| + 3.$d) $y = left| + 6 ight| – 1.$

a) Vẽ đồ thị hàm số $left( p ight):y=x^2-3x+2$ tất cả đỉnh $Ileft( frac32;-frac14 ight)$, trục đối xứng $x=frac32$, đi qua các điểm $Aleft( 1;0 ight)$, $Bleft( 2;0 ight)$, $Cleft( 0;2 ight)$, $Dleft( 3;2 ight)$ và có phần bề lõm hướng lên trên.Khi đó vật dụng thị hàm số $y=x^2-3left| x ight|+2$ là $left( P_1 ight)$ gồm phần hông phải trục tung của $left( p ight)$ cùng phần lấy đối xứng của nó qua trục tung.

*

b) Đồ thị hàm số $y=left| x^2-3left| x ight|+2 ight|$ là $left( P_2 ight)$ có phần phía trên trục hoành của $left( P_1 ight)$ với phần đối xứng của $left( P_1 ight)$ nằm phía bên dưới trục hoành qua trục hoành.

*

c) Đồ thị hàm số $y=x^2-3left| x ight|+3$ là $left( P_3 ight)$ bao gồm được từ các việc tịnh tiến $left( P_1 ight)$ đi một đơn vị chức năng lên phía trên tuy nhiên song cùng với trục tung.

*

d) Ta có: $y = left| + 6 ight| – 1$ $ = left| + 2 ight| – 1.$Do đó tịnh tiến $left( P_2 ight)$ sang bắt buộc đi hai đối kháng vị song song cùng với trục hoành ta được đồ gia dụng thị hàm số $y=left| left( x-2 ight)^2-3left| x-2 ight|+2 ight|$, liên tục tịnh tiến xuống bên dưới một đối kháng vị tuy nhiên song cùng với trục tung ta được trang bị thị hàm số $y=left| left( x-2 ight)^2-3left| x-2 ight|+2 ight|-1.$

*

Dạng toán 4. Ứng dụng của hàm số bậc hai trong minh chứng bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.Phương pháp giải toán: Dựa vào vật thị (hoặc bảng đổi mới thiên) của hàm số $y=ax^2+bx+c$ $(a e 0)$ ta thấy nó đạt giá trị to nhất, nhỏ nhất trên $left< alpha ;eta ight>$ tại điểm $x=alpha $ hoặc $x=eta $ hoặc $x=-fracb2a$, cụ thể như sau:Trường đúng theo 1: $a > 0.$+ Nếu $ – fracb2a in left< alpha ;eta ight>$ $ Rightarrow mathop min limits_left< alpha ;eta ight> f(x) = f( – fracb2a)$, $mathop max limits_left< alpha ;eta ight> f(x) = max left f(alpha ),f(eta ) ight.$+ Nếu $ – fracb2a otin left< alpha ;eta ight>$ $ Rightarrow mathop min limits_left< alpha ;eta ight> f(x) = min left f(alpha ),f(eta ) ight$, $mathop max limits_left< alpha ;eta ight> f(x) = max left f(alpha ),f(eta ) ight.$Trường vừa lòng 2: $a + Nếu $ – fracb2a in left< alpha ;eta ight>$ $ Rightarrow mathop max limits_left< alpha ;eta ight> f(x) = f( – fracb2a)$, $mathop min limits_left< alpha ;eta ight> f(x) = min left f(alpha ),f(eta ) ight.$+ Nếu $ – fracb2a otin left< alpha ;eta ight>$ $ Rightarrow mathop min limits_left< alpha ;eta ight> f(x) = min left f(alpha ),f(eta ) ight$, $mathop max limits_left< alpha ;eta ight> f(x) = max left f(alpha ),f(eta ) ight.$

Ví dụ 6. đến phương trình $x^2 + 2left( m + 3 ight)x + m^2 – 3 = 0$, $m$ là tham số. Tìm $m$ nhằm phương trình gồm hai nghiệm $x_1,x_2$ với $P=5(x_1+x_2)-2x_1x_2$ đạt giá bán trị mập nhất.

Ta có: $Delta’ = left( m + 3 ight)^2 – left( m^2 – 3 ight)$ $ = 6m + 12.$Phương trình gồm nghiệm $ Leftrightarrow Delta’ ge 0$ $ Leftrightarrow 6m + 12 ge 0$ $ Leftrightarrow m ge – 2.$Theo định lý Viét ta có: $left{ eginarray*20cx_1 + x_2 = – 2left( m + 3 ight)\x_1x_2 = m^2 – 3endarray ight.$$P = – 10left( m + 3 ight) – 2left( m^2 – 3 ight)$ $ = – 2m^2 – 10m – 24.$Xét hàm số $y = – 2x^2 – 10x – 24$ với $x in left< – 2; + infty ight).$Bảng trở nên thiên:

*

Suy ra $mathop maxlimits_left< – 2; + infty ight) y = – 12$ khi và chỉ còn khi $x = – 2.$Vậy $m = – 2$ là giá trị buộc phải tìm.

Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ dại nhất của hàm số $y = sqrt<3>x^4 + 2x^2 + 1$ $ – 3sqrt<3>x^2 + 1 + 1.$

Đặt $t = sqrt<3>x^2 + 1$, $t ge 1$ $ Rightarrow t^2 = sqrt<3>x^4 + 2x^2 + 1.$Khi đó hàm số biến hóa $y = t^2 – 3t + 1$ với $t ge 1.$Bảng biến hóa thiên:

*

Suy xác định giá trị nhỏ dại nhất của hàm số $y = sqrt<3>x^4 + 2x^2 + 1$ $ – 3sqrt<3>x^2 + 1 + 1$ là $ – frac54$ khi còn chỉ khi $t = frac32$ hay $sqrt<3>x^2 + 1 = frac32$ $ Leftrightarrow x = pm sqrt frac198 .$

Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ tuổi nhất của hàm số $y = x^4 – 4x^2 – 1$ trên $left< – 1;2 ight>.$

Đặt $t = x^2.$Với $x in left< – 1;2 ight>$, ta có: $t in left< 0;4 ight>.$Hàm số biến chuyển $fleft( t ight) = t^2 – 4t – 1$ với $t in left< 0;4 ight>.$Bảng thay đổi thiên:

*

Suy ra:$mathop maxlimits_left< – 1;2 ight> y = mathop maxlimits_left< 0;4 ight> fleft( t ight) = – 1$ khi $left< eginarray*20ct = 0\t = 4endarray ight.$ hay $left< eginarray*20cx = 0\x = pm 2endarray ight.$$mathop min ylimits_left< – 1;2 ight> = mathop min limits_left< – 1;2 ight> fleft( t ight) = – 1$ khi $t = 2$ tuyệt $x = pm sqrt 2 .$

Ví dụ 9. Cho các số thực $a,b$ thoả nguyện $ab e 0$. Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = fraca^2b^2 + fracb^2a^2 – fracab – fracba + 1.$

Đặt $t = fracab + fracba$, ta có $left| t ight| = left| fracab + fracba ight|$ $ = left| fracab ight| + left| fracba ight|$ $ ge 2sqrt fracab ight = 2.$$t^2 = fraca^2b^2 + fracb^2a^2 + 2$ $ Rightarrow fraca^2b^2 + fracb^2a^2 = t^2 – 2.$Ta bao gồm $P = t^2 – 2 – t + 1$ $ = t^2 – t – 1.$Xét hàm số $f(t) = t^2 – t – 1$ với $t in left( – infty ; – 2 ight> cup left< 2; + infty ight).$Bảng đổi mới thiên:

*

Từ bảng biến thiên ta có:$min p = mathop min limits_left( – infty ; – 2 ight> cup left< 2; + infty ight) f(t) = 1$ khi $t = 2$ hay $2 = fracab + fracba$ $ Leftrightarrow a = b.$

Ví dụ 10. Cho những số $x,y$ thoả mãn: $x^2 + y^2 = 1 + xy.$ Chứng minh rằng $frac19 le x^4 + y^4 – x^2y^2 le frac32.$

Đặt $P = x^4 + y^4 – x^2y^2.$Ta gồm $P = (x^2 + y^2)^2 – 3x^2y^2$ $ = left( 1 + xy ight)^2 – 3x^2y^2$ $ = – 2x^2y^2 + 2xy + 1.$Đặt $t = xy$, khi đó $P = – 2t^2 + 2t + 1.$Vì $left{ eginarray*20cx^2 + y^2 ge 2xy\x^2 + y^2 ge – 2xyendarray ight.$ nên $left{ eginarray*20c1 + xy ge 2xy\1 + xy ge – 2xyendarray ight.$ $ Leftrightarrow – frac13 le xy le 1.$Do đó $ – frac13 le t le 1.$Xét hàm số $f(t) = – 2t^2 + 2t + 1$ trên $left< – frac13;,1 ight>.$Ta gồm $ – fracb2a = frac12$, ta tất cả bảng vươn lên là thiên:

*

Từ bảng phát triển thành thiên ta có $mathop min limits_left< – frac13;,12 ight> f(t) = frac19$ $ le phường le mathop max limits_left< – frac13;1 ight> f(t) = frac32.$